Hva er de Moivres formel og hvordan bruker du den?

Komplekse tall kan brukes til å løse problemer som virker å handle om reelle størrelser. Et viktig hjelpemiddel for dette er de Moivres formel.

Ofte blir regnestykker enklere når du flytter eksponenten som i de Moivres formel. Det kan du se i Eksempel 1.

De Moivres formel kan bevises med Eulers formel og regler for potensregning:

Eulers formel gir deg en sammenheng mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner:

$$r{e}^{i𝜃}=r\left(\cos 𝜃+i\sin 𝜃\right).$$

Ved å bruke Eulers formel kan du derfor definere uttrykk for cosinus og sinus med komplekse tall.

For reelle tall $𝜃\in ℝ$ kan vi begrunne definisjonen ved Eulers formel:

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{e^{i𝜃}+e^{-i𝜃}}{2}& =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃+\cos \left(-𝜃\right)+i\sin \left(-𝜃\right)}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃+\cos 𝜃-i\sin 𝜃}{2}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\text{<mn>2</mn>}\cos 𝜃}{\text{<mn>2</mn>}}& \hfill & \\ \hfill & =\cos 𝜃,& \hfill & \end{array}$$

og

$$\begin{array}{llll}\hfill \frac{e^{i𝜃}-e^{-i𝜃}}{2i}& =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃-\left(\cos \left(-𝜃\right)+i\sin \left(-𝜃\right)\right)}{2i}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\cos 𝜃+i\sin 𝜃-\cos 𝜃+i\sin 𝜃}{2i}& \hfill & \\ \hfill & =\frac{\text{<mn>2</mn><mi type="i">i</mi>}\sin 𝜃}{\text{<mn>2</mn><mi type="i">i</mi>}}& \hfill & \\ \hfill & =\sin 𝜃.& \hfill & \end{array}$$

Sammenhengen mellom eksponetsialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene er nyttig i mange sammenhenger. Ofte er det lettere å jobbe med eksponentialfunksjoner enn trigonometriske funksjoner. Når du jobber med trigonometriske funksjoner kan det være en god idé å gå veien innom eksponentialfunksjonen.