Hvordan regner du ut avstanden mellom to komplekse tall

Når du skal regne ut avstanden mellom to komplekse tall, kan du gjøre dette på samme måte som du ville gjort med vektorer. Hvis du har de komplekse tallene $z_{1}$ og $z_{2}$ , kan du finne avstanden mellom dem som normen $r = | z_{1} - z_{2} |$ av differansen $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ . Siden det kun er avstanden mellom $z_{1}$ og $z_{2}$ du er interessert i, er det likegyldig om du velger å regne ut normen av $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ eller $z_{4} = z_{2} - z_{1}$ .

Eksempel 1

Finn avstanden mellom tallene $z_{1} = 5 + 2 i$ og $z_{2} = 1 - i$

For å regne ut avstanden mellom tallene må du først finne differansen $z_{3} = z_{1} - z_{2}$ . Dette gjøres elementvis med realdel og imaginærdel for seg selv:

\begin{array}{l} z_{3} & = (5 + 2 i) - (1 - i) \\ = (5 - 1) + (2 - (- 1)) i \\ = 4 + 3 i . \end{array}

z_{3} = (5 + 2 i) - (1 - i) = (5 - 1) + (2 - (- 1)) i = 4 + 3 i .

Nå kan du regne ut avstanden mellom

z_{1}

z_{2}

som normen av

z_{3}

\begin{array}{l} r_{1} & = | z_{3} | \\ = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 . \end{array}

r_{1} = | z_{3} | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 .

Avstanden mellom

z_{1}

z_{2}

er derfor lik

5

. Om du vil kan du også regne ut differansen

z_{4} = z_{2} - z_{1}

\begin{array}{l} z_{4} & = (1 - i) - (5 + 2 i) \\ = (1 - 5) + (- 1 - 2) i \\ = - 4 - 3 i . \end{array}

z_{4} = (1 - i) - (5 + 2 i) = (1 - 5) + (- 1 - 2) i = - 4 - 3 i .

Selv om

z_{3}

z_{4}

ikke er de samme tallene, har de lik norm:

\begin{array}{l} r_{2} & = | z_{4} | \\ = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 . \end{array}

r_{2} = | z_{4} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 .

Du kan derfor velge fritt hvilken differanse du skal bruke når du finner avstanden mellom to komplekse tall.

Ved å bruke det komplekse planet, kan du geometrisk fremstille avstanden mellom to komplekse tall. Om du tegner inn tallene fra Eksempel 1 i det komplekse planet, kan du bruke Pytagoras’ setning til å regne ut avstanden mellom dem:

Avstanden mellom to komplekse tall fremstilt i det komplekse planet

Avstanden mellom to komplekse tall kan brukes til å skissere områder i det komplekse plan:

Eksempel 2

Skisser mengden ${z \in ℂ : | z + 1 | \leq 1}$ av komplekse tall $z$ som oppfyller $| z + 1 | \leq 1$

I denne oppgaven skal du skissere alle komplekse tall $z$ hvis avstand til $- 1$ er mindre eller lik enn $1$ . I det komplekse plan er dette en lukket disk med sentrum i $- 1$ og radius $1$ .

Skissert område i det komplekse planet.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!

Forrige oppslag

Hva er de Moivres formel og hvordan bruker du den?

Neste oppslag

Hvordan finner du midtpunktet mellom to komplekse tall

Tilbake